Лабораторная работа №6
Определение импеданса биологического объекта
Цель работы: научиться работать с электронным
осциллографом и рассчитывать электроемкость конденсатора,
изучить зависимость величины импеданса от частоты
электрического тока для биологической ткани с помощью
эквивалентных схем.
Оборудование: макет установки для определения импеданса,
функциональный генератор ФГ-100, осциллограф универсальный С1-
159М, катушка, конденсатор, картофель, соединительные провода.
Вопросы входного контроля
1. Что такое электрический ток? Что является носителями тока
в проводниках и жидкостях?
2. Основные характеристики переменного электрического тока
(период, частота, амплитуда, фаза).
3. Закон Ома для участка цепи постоянного и переменного тока.
4. Виды электрических сопротивлений в цепи переменного тока
(активное R, индуктивное XL, ёмкостное XC).
5. Что такое индуктивность L и электроёмкость C, от чего
зависят?
6. Устройство и принцип работы осциллографа (см. в л.р.).
Краткая теория
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из
последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки
(рис. 1). Если к выводам этой электрической цепи приложить
электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому
закону с частотой ω и амплитудой Um, то в цепи возникнут
вынужденные колебания силы тока с той же частотой и некоторой
амплитудой Im. Установим связь между амплитудами колебаний
силы тока и напряжения.
На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения
на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями
на горизонтальную ось векторов UCm, URm и ULm, вращающихся с
одинаковой угловой скоростью ω против часовой стрелки.
2
Рис. 1. Последовательное соединение R, L, C.
Напряжения UC, UR и UL можно записать в виде:
cos( t )
R Rm
UU

= −
– в фазе с током.
cos( t )
2
L Lm
UU

= − +
– опережает силу тока по фазе на
2
.
cos( t )
2
C Cm
UU

= − −
– отстает от силы тока по фазе на
2
.
На рис. 2, по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока
Im. Так как по всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то
амплитуды напряжений на участках отложим относительно этого
вектора: URm – в одной фазе с силой тока; ULm – с опережением силы
тока по фазе на π/2; UCm – с отставанием силы тока по фазе на π/2.
Рис. 2. Векторная диаграмма мгновенных значений напряжений.
Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме
мгновенных напряжений UR, UC и UL на отдельных элементах
цепи, т. е. сумме проекций векторов UCm, URm и ULm на
3
горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на
произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же
ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль
суммы векторов:
m Rm Lm Cm
U U U U= + +
.
Из рисунка 2 видно, что амплитуда напряжений на всей цепи
равна
22
()
m Rm Lm Cm
U U U U= + −
,
или
.
Отсюда
2
2
I1
R
m
mU
LC
=

+−


,
где
2
21
RLC

+−


– полное сопротивление цепи переменного тока,
называемое импедансом,
L
LX
=
– называется индуктивным
сопротивлением,
1C
X
C
=
– величина ёмкостного сопротивления
конденсатора, а сама величина электроёмкости для плоского
конденсатора определяется выражением:
0S
Cd

=
.
Характеристикой реакции диэлектрической среды на
электрическое поле является относительная диэлектрическая
проницаемость ɛ. Она показывает, во сколько раз напряженность
электрического поля в данной точке в среде меньше той
напряженности электрического поля, которая возникла бы в
вакууме при том же распределении внешних зарядов, создающих
поле.
Введя обозначение для полного сопротивления цепи
переменного тока Z:
4
2
21
RZL
C

= + −


,
выразим связь между амплитудными значениями силы тока и
напряжения в цепи переменного тока следующим образом:
Im
mU
Z
=
.
Это выражение называют законом Ома для цепи
переменного тока. Сдвиг фаз в цепи переменного тока
определяется характером нагрузки:
Lm Cm L C
Rm
U U X X
tg UR
−−
==
или
cos Rm
UR
UZ
==
Опыт показывает, что если сила тока опережает по фазе
приложенное напряжение φ < 0, то ёмкостное сопротивление
намного превосходит индуктивное напряжение.
Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 2, видно,
что фаза колебаний полного напряжения равна ωt+φ. Поэтому
мгновенное значение полного напряжения определяется
формулой:
cos( t )
m
uU

= +
.
Живые ткани состоят из клеток, омываемых тканевой
жидкостью. По своей электропроводности тканевая жидкость
представляет собой электролит. Электролитами называют
вещества, молекулы которых состоят из ионов противоположных
знаков, суммарные заряды которых в единице объема по
абсолютной величине равны друг другу. Если в растворе
электролита создать электрическое поле напряженностью Е
положительные ионы начнут двигаться по полю, а отрицательные
против поля. В среде возникает электрический ток. Из теории
электролитов, сила электрического тока при направленном
движении частиц одного знака определяется выражением:
I n e S
=
.
5
Биологические объекты представляют собой сложные
гетерогенные системы с множеством границ раздела.
Гетерогенность тканей, в большей степени, обусловлена наличием
в их структуре мембран. К ним относятся клеточные
поверхностные мембраны, окружающие клеточные органоиды,
образующие эндоплазматическую сеть. Клеточные мембраны с
наружной стороны омываются клеточной жидкостью, которая по
своей электропроводности близка к электролитам и хорошо
проводят ток благодаря наличию большого количества свободных
ионных зарядов. Внутренняя часть клеточной мембраны,
цитоплазма, в силу наличия большого количества ионов так же
обладает хорошей проводимостью. Мембраны же в результате их
малой проницаемости для ионов обладают большим
электрическим сопротивлением порядка 1000 Ом/м2. Такая
система, состоящая из сред, хорошо проводящих ток
(межклеточная жидкость и цитоплазма), разделенных плохо
проводящим ток слоем (мембрана), обладает электрической
емкостью порядка 1 мкФ/см2. Мембраны в электрическом
отношении являются «живыми конденсаторами».
Активное (омическое) сопротивление тканей определяется
преимущественно межклеточными электролитами. Кроме того,
ткани организма как гетерогенная система на постоянном токе и
на низких частотах обладает так же и поляризационной ёмкостью.
При пропускании по тканям постоянного тока по обе стороны
клеточных мембран происходит накопление ионов различного
знака, образуя как бы систему заряженных конденсаторов с
электрическим полем, противоположным к приложенному
напряжению направления, т.е. происходит поляризация границ
раздела (мембран). С ним связано возникновение ЭДС
поляризации E(t), которое со временем увеличивается до
определенного предела, уменьшая тем самым приложенное к
объекту напряжение U – E(t), что в свою очередь приводит к
уменьшению тока по закону Ома:
()U E t
IR
−
=
.
Как известно, уменьшение тока при постоянном напряжении
эквивалентно возрастанию сопротивления объекта, а накопление
6
зарядов по обе стороны клеточных мембран обусловливает
возникновение электрической ёмкости.
Индуктивность живых тканей настолько мала по сравнению
с ёмкостью и сопротивлением, что эффектами индуктивного
сопротивления можно пренебречь. Однако, стоить заметить, что у
животных и человека все же регистрируется слабая индуктивная
составляющая, обеспеченная переплетением аксонов и дендритов
нейронов в мозге.
Таким образом, электрическая модель биообъекта может
быть представлена в виде различных комбинаций ёмкостных и
омических сопротивлений, т.е. в виде различных эквивалентных
электрических схем.
Рассмотрим некоторые из них (рис. 3). Схема а) имеет
существенное расхождение с опытными данными в области частот
близких к нулю – величина импеданса неограниченно возрастает
с уменьшением частоты. Схема б) удовлетворительно описывает
частотную зависимость величины импеданса на низких частотах,
но в области высоких частот величина импеданса стремится к
нулю, что не соответствует опытным данным.
Рис. 3. Эквивалентные электрические схемы.
Наилучшее согласие с экспериментом обеспечивает
эквивалентная схема в): на низких частотах величина импеданса
определяется сопротивлением XС, на высоких частотах –
параллельным соединением сопротивлений R1 и R2. Графики дают
7
качественное представление о поведении абсолютной величины
импеданса при изменении частоты переменного тока.
Рис. 4. Дисперсия электропроводности живой ткани.
При прохождении переменного тока через живые ткани
наблюдается дисперсия электропроводимости: с увеличением
частоты сопротивление Z уменьшается от некоторого
максимального значения (Zmax) до некоторого минимального
значения (Zmin) – рис. 4а, что является результатом зависимости
ёмкостного сопротивления от частоты. Дисперсия
электропроводности присуща только живым тканям. По мере
отмирания ткани крутизна кривой уменьшается.
На рисунке 4б показана зависимость импеданса от частоты Z =
f(ν) для живой ткани (1), поврежденной ткани (2), мертвой ткани (3).
Таким образом, по импедансу можно провести оценку
состояния биологической ткани для целей трансплантации. При
трансплантации тканей одним из важных условий успешного
проведения операции является хорошая сохранность клеток
пересаживаемой ткани. Временной фактор определяет
жизнеспособность пересаживаемой ткани.
Если пересадка осуществляется через значительное время
после забора трансплантата, то даже при соблюдении специальных
условий хранения в клетках могут произойти не обратимые
изменения. В первую очередь это касается клеточных мембран.
Объективно оценить состояние мембран клеток позволяет
метод, основанный на измерении электрического импеданса
исследуемой ткани. На дисперсионной кривой импеданса имеется
участок, на котором основным фактором зависимости Z от
8
частоты переменного тока является проявление ёмкостных
свойств клеток.
Для случая нормального состояния липидных мембран
клеток величина клеточной поляризуемости и, следовательно,
эффективная диэлектрическая проницаемость клеточного
образования велика. При изменении частоты тока от νmin (~10кГц)
до νmax (~ 100кГц) величина импеданса резко уменьшается. Если
же состояние липидного слоя мембран клеток изменяется, то
мембрана перестает выполнять свою барьерную функцию,
исчезает избирательная проницаемость мембран клеток. При
прохождении электрического тока ионы проникают через
мембраны клеток. Поляризуемость на клеточном уровне
уменьшается, электрическая емкость образца ткани также
уменьшается, кривая изменения Z(ν) в диапазоне частот νmin ÷ νmax
сглаживается.
На практике совсем не обязательно детально прослеживать
ход дисперсионной кривой для данного диапазона частот.
Достаточно измерить величину импеданса на нижней границе
диапазона Z(νmin) и верхней границе – Z(νmax). Показателем
состояния клеточных мембран является разность Δ Z = Z(νmin) –
Z(νmax). Если разность ∆Z велика, то мембраны клеток ткани
находятся в удовлетворительном состоянии, если ∆Z мала, то в
мембранах клеток произошли изменения, ткань непригодна для
пересадки. Не следует, конечно, думать, что во время операции
образец пересаживаемой ткани подвергается проверке методом
измерения импеданса. Данный метод можно использовать как
объективную оценку способов консервации, условий и сроков
хранения различных тканей, предназначенных для
трансплантации.
Регистрация импеданса тканей и органов в процессе
сердечной деятельности лежит в основе диагностического метода
– реографии. Снимают реограммы сердца (реокардиограммы),
головного мозга (реоэнцефалограммы), магистральных сосудов,
легких, печени и конечностей. Колебания электрического
сопротивления регистрируются специальным аппаратом
(реографом) с определенными датчиками-электродами в виде
сложной кривой – реограммы.
9
Величина импеданса тканей Z состоит из двух составляющих
Z = Z0 + Z(t): постоянной – Z0 и изменяющейся во времени в
соответствии с работой сердца – Z(t).
На практике, на исследуемый участок тела накладывают
электроды площадью несколько см2 и пропускают переменный
ток частотой ≈ 30 − 40 кГц. Выбор частоты определяется
несколькими факторами: электробезопасностью, исключением
влияния электродов и ёмкости их контакта с кожей, уменьшением
зависимости величины импеданса от механических воздействий
на исследуемую ткань. Наполнение сосудов кровью изменяет
расстояния между отдельными участками ткани, что должно
приводить к изменению ёмкостного сопротивления. Но вклад
макроскопических объемов тканей в реактивную составляющую
импеданса существенен только в области α-дисперсии.
Следовательно, изменения импеданса во времени обусловлены
влиянием притока и оттока крови на активную составляющую
полного сопротивления.
При прохождении через ткани электрического тока I =
Im⋅cos
⋅
ωt величина напряжения будет изменяться по закону:
U = Um⋅cos⋅(ωt+φ) = Im (Z0 + Z(t))⋅(ωt+φ).
Электрическими методами выделяют из регистрируемого
сигнала составляющую, пропорциональную Z(t), содержащую
информацию о состоянии кровоснабжения изучаемого участка
тканей − реограмму. Для парных анатомических образований
проводят запись реограммы на правой и левой стороне тела.
Рис. 5. Реограммы голеней и стоп здорового пациента.
10
На рис. 5 представлены реограммы нижних конечностей
здорового человека. При наполнении сосудов кровью величина
электропроводности тканей изменяется, а вместе с ней изменяется
и величина импеданса. По скорости изменения полного
сопротивления можно судить о быстроте притока крови при
систоле и оттока крови во время диастолы.
Устройство и принцип работы осциллографа
Электронный осциллограф представляет собой прибор,
позволяющий зрительно наблюдать и записывать (вводить в
компьютер) электрические процессы: непрерывные и импульсные
периодические, непериодические процессы и даже мгновенные
одиночные явления, например, электрический разряд, а также
выполнять различные измерения. Электронные осциллографы
нашли исключительно широкое применение не только в
радиотехнической практике, но и во многих других областях
науки и техники. Это объясняется тем, что при помощи
осциллографа можно наблюдать и исследовать
быстропротекающие процессы. Более того, улучшение
конструкции электронно-лучевой трубки (ЭЛТ), всех электронных
устройств, входящих в состав осциллографа, позволило
превратить его в точный измерительный прибор – незаменимый
инструмент работников производства и науки.
Рис. 6. Внешний вид осциллографа ПРОФКИП С1-159М.
11
Исследуемый процесс изображается на экране осциллографа
в виде линий или фигур, представляющих функциональную
зависимость двух величин U1 = f(U2). Изображение напряжения,
характеризующего процесс в реальном времени, называется
осциллограммой. Наиболее распространенной является
зависимость от времени U1 = f(t), так как большинство
электрических и радиотехнических процессов представляются
текущими во времени. На экране осциллографа получается
изображение самого процесса в реальном времени.
Любой осциллограф состоит из ЭЛТ и трех электрических
каналов, по которым поступают напряжения для вертикального и
горизонтального отклонений луча, а также для управления его
яркостью.
ЭЛТ с электростатическим управлением лучом является
главным элементом электронного осциллографа. ЭЛТ с
электростатическим управлением представляет собой стеклянный
баллон с высоким вакуумом (рис. 7), внутри которого находятся
электронный прожектор и две пары взаимно перпендикулярных
пластин. На дно баллона нанесен тонкий слой люминофора –
вещества, способного возбуждаться (светиться) при падении на
него электронов. Этот слой образует экран трубки.
Рис. 7. Устройство электронно-лучевой трубки.
Электронный прожектор предназначен для создания тонкого
электронного луча. Он состоит из подогреваемого катода,
12
управляющего и ускоряющего электродов и фокусирующей
системы. Катод имеет форму цилиндра, внутрь которого помещен
подогреватель. Катод окружен управляющим электродом
(модулятором), в котором имеется отверстие для пропускания
электронов. Назначение управляющего электрода –
концентрировать луч к оси трубки и регулировать его
интенсивность, т. е. яркость свечения пятна на экране. Для этого на
него подается регулируемое отрицательное (относительно катода)
напряжение, при определенном значении которого луч полностью
гаснет, и трубка «запирается». Кроме того, на управляющий
электрод можно подавать внешнее переменное напряжение,
которое, будет изменять установленную яркость или, другими
словами, модулировать луч. Поэтому управляющий электрод часто
называют модулирующим электродом, или модулятором.
Электронный луч должен быть по возможности тоньше, так
как при этом повышаются четкость осциллограммы и точность
измерений. Поэтому его нужно хорошо сфокусировать. Главную
роль в фокусировке луча играют аноды.
После второго анода расположены две пары взаимно
перпендикулярных пластин, на которые подаются исследуемые
переменные напряжения и постоянные напряжения для начальной
установки луча в нужном месте экрана. При подаче напряжения на
пластины ЭЛТ, расположенные горизонтально (вертикально
отклоняющие пластины «Y»), сфокусированный электронный луч
отклоняется от центра экрана вверх или вниз в зависимости от
знака напряжения между пластинами. Чем больше величина
напряжения, тем больше отклонение луча (светящейся точки
экрана). При подаче напряжения на пластины ЭЛТ,
расположенные вертикально (горизонтально отклоняющие
пластины «Х»), сфокусированный электронный луч отклоняется
от центра экрана вправо или влево в зависимости от знака
напряжения между пластинами.
Под действием электрических полей (напряжений) на
отклоняющих пластинах электронный луч искривляется в
горизонтальном и вертикальном направлениях. В результате
такого одновременного воздействия двух взаимно-
перпендикулярных полей конец луча практически может попадать
в любое место экрана.
13
Рассмотрим более подробно процесс образования на экране
осциллографа непрерывной горизонтальной линии, которая
формируется генератором развертки. Наиболее
распространенным видом развертки изображения является
линейная периодическая развертка. Генератор линейной
периодической развертки вырабатывает пилообразное
напряжение, возрастающее от нуля (рис. 8). Частота напряжения
развертки может меняться в широких пределах.
Рис. 8. Форма напряжения развертки: а) – при движении
луча слева направо; б) – при движении луча справа налево.
Напряжение развертки возрастает пропорционально
времени, и поэтому луч с равномерной скоростью движется вдоль
оси X экрана осциллографа. Увеличение напряжения развертки
прекращается в момент достижения лучом края экрана, и оно
почти мгновенно падает до нуля. При этом луч перебрасывается к
противоположному краю экрана трубки. Далее процесс
повторяется, и луч чертит на экране трубки прямую – линию
развертки.
Период развертки ТХ делится на две неравные части: большая
часть его Тпр называется временем прямого хода луча, меньшая –
Тобр – временем обратного хода луча. Таким образом, TХ = Tпр +
Tобр. В современных осциллографах время обратного хода
составляет 5 % периода развертки, и поэтому время прямого хода
луча приближенно считают равным периоду развертки: ТХ ≈ Тпр.
Принцип построения изображения на экране осциллографа
представлен на рисунке 9.
14
Рис. 9. Осциллограмма, получающаяся при идеальной форме
развертывающих напряжений.
Порядок выполнения работы
Упражнение № 1. Определение электроёмкости конденсатора.
1. Собрать схему установки, изображенной на рисунке 10,
подключив к клеммам "L, C, ткань" конденсатор C.
Рис. 10. Структурная схема экспериментальной установки.
2. Вначале делаются измерения по всем упражнениям, затем
приборы выключаются из сети и выполняются расчеты. Приступая
к выполнению работы, установите следующие положения
переключателей на осциллографе: кнопки "плавно"– в
центральном положении; ручки "стабильность" и "уровень"– в
крайнее правое положение; ручку "вольт/делен." – на 0,1 В/дел.
15
На функциональном генераторе (ФГ): ручками "множитель"
и "лимб частоты" (в виде диска) установить частоту 500 Гц (на
лимбе частоты должно быть 5, а множитель диапазона в положении
"100"); ручку "амплитуда" (регулировка выходного напряжения) –
в крайнее правое положение. Переключатель "форма" на ФГ
установить в самое верхнее положение «». Другие переключатели
и кнопки на приборах устанавливаются преподавателем.
3. На макете ручку "потенциометр" поставить в крайнее
левое положение – (минимум).
4. Включить осциллограф и ФГ (тумблер «сеть» расположен
на обратной стороне прибора) в сеть. Через 1 – 2 минуты
приступить к измерениям. На осциллографе ручками “⊙” и “☼”,
“↔” и “↕” установить не очень яркую четкую светящуюся точку в
центре экрана.
5. Плавным вращением ручки "потенциометр" на макете
установить по микроамперметру на макете ток силой в 200 мкА.
6. Вычислить значение напряжения на конденсаторе с
помощью осциллографа. Для этого ручкой "вольт/делен"
подобрать такую цену деления, чтобы вертикальная светящаяся
линия составляла от 3-х до 6 больших делений. Эффективное
напряжение Uэф рассчитывается по формуле:
2,83
22
m
эф
Udy Cy
U
==
,
где: dy – число делений по оси "Y" на осциллографе с точностью
до 0,2 дел. Cy – цена одного большого деления, задается ручкой
"вольт/делен." измеренные значения dy и Cy и вычисленные
значения Uэф занесите в таблицу 1.
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений
(Гц)
dy (дел.)
Cy (В/дел.)
Uэф (В)
Iэф (мкА)
Хс (Ом)
С (Ф)
500
1 000
2 000
5 000
10 000
20 000
200
16
7. Повторить измерения при всех частотах (множитель
частоты «1к» соответствует умножению на 1 000, «10к» – 10 000),
указанных в таблице 1, поддерживая с помощью ручки
"потенциометр" на макете силу тока, равную 200 мкА (0,0002 А).
8. Результаты измерений занесите в таблицу 1.
9. Выключить приборы из сети и отключить конденсатор С.
10. Рассчитать ёмкостное сопротивление ХC и электроёмкость
конденсатора С по формулам:
эф
C
эф
U
XI
=
;
1
2C
СX

=
.
Упражнение 2. Определение зависимости импеданса
биологического объекта от частоты переменного тока и его
активного сопротивления R.
1. Поместить игольчатые электроды в объект (картофель) на
расстоянии не менее 4 см и подсоединить их к клеммам "L, C,
ткань" макета.
2. Включить ФГ и осциллограф в сеть.
3. Для частот, указанных в таблице 2 произвести измерения
dy, Cy (по аналогии упражнения 1), а затем вычислить Uэф и
результаты занести в таблицу 2.
Таблица 2
Результаты измерений и вычислений
(Гц)
dy (дел.)
Cy (В/дел.)
Uэф (В)
Iэф (мкА)
Z (Ом)
R (Ом)
сos φ
500
1 000
2 000
5 000
10 000
20 000
200
4. Отключить приборы от сети.
5. Вычислить значения импеданса по формуле:
эф
эф
U
ZI
=
.
17
6. Построить график зависимости импеданса ткани от
частоты переменного тока Z= f (
). Примерный вид зависимости
представлен на рисунке 11.
7. Для
= 20 000 Гц по графику оценить активное
сопротивление R (см. рис. 11) и рассчитать сдвиг фаз (сos
) для
исследуемых частот по формуле:
cos R
Z
=
.
(Импеданс ткани
2
21
ZRС

=+


, где R – активное
сопротивление ткани (R – const на всех частотах в данных
условиях),
2
=
. При частоте ν = 20 000 Гц
2
2
1R
2С





,
поэтому
20000Гц
ZR
=
. Таким образом, за активное сопротивление
биологической ткани R в данном упражнении приблизительно
принимаем значение импеданса Z при частоте ν = 20 000 Гц).
8. Проанализировать график упражнения 2 и сделать вывод о
природе импеданса биологического объекта.
Рис. 11. Зависимость импеданса биологической ткани от частоты
переменного тока Z=f(ν)
18
Контрольные вопросы
1. Что называется импедансом? Закон Ома для участка цепи
переменного тока и биологической ткани.
2. Что такое эквивалентная схема? Виды эквивалентных
электрических схем. Какая из электрических эквивалентных схем
наилучшим образом моделирует живую ткань?
3. Что такое дисперсия электропроводности и чем она обусловлена?
4. Основные характеристики переменного электрического тока.
Виды электрических сопротивлений и от чего зависят.
5. Применение метода измерения импеданса в медицине.
Задачи
1. Напряжение и сила тока в цепи изменяются по закону
U = 60sin(314t + 0,25) мВ, I = 15sin(314t) мА. Определить импеданс
цепи Z и фазовый угол между током и напряжением.
2. Определить толщину липидной части мембраны если
известно, что удельная электроёмкость мембраны Cуд ≈ 0,5×10-2
Ф/м2, а её диэлектрическая проницаемость ε = 2.
3. Последовательно соединённые конденсатор
электроёмкостью С = 5 мкФ, катушка с индуктивностью L = 2 мГн
и резистор R = 20 Ом включены в цепь переменного тока. Чему
равен импеданс этой цепи на частотах 60 Гц и 20 кГц?
Рекомендуемая литература
1. Физика и биофизика. Руководство к практическим занятиям
[Электронный ресурс]: учебное пособие. - М. : ГЭОТАР-Медиа,
2013. - ISBN 978-5-9704-2677-7. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970426777-
0003/016.html [Глава 3, Раздел 4/6, С. 46-51].
2. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика
[Электронный ресурс]: учебник - 4-е изд., испр. и перераб. - М.:
ГЭОТАР-Медиа, 2013. - ISBN 978-5-9704-2484-1. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970424841-0023.html
[Глава 18, Раздел 24/43, C. 1-3].
3. Федорова В.Н. Медицинская и биологическая физика. Курс
лекций с задачами [Электронный ресурс]: учебное пособие. - М.:
ГЭОТАР-Медиа, 2010. - ISBN 978-5-9704-1423-1. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970414231-0016.html
[Лекция 15, Раздел 17/37, C. 1-9].